[2015년 안곡고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

곡선 [eqn: y=x^2 -3x+1]위의 점 [eqn: (2,```1)]에서의 접선의 방정식을 구한 것은? [4.1점]

①

① [eqn: y=x-1]	② [eqn: y=x+1]	③ [eqn: y=2x-1]

④ [eqn: y=2x+1]	⑤ [eqn: y=3x-1]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(2)=-1], [eqn: f(4)=1]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1 le f'(x) le 1]을 만족한다고 한다. 이 때, [eqn: f(3)]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다음은 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 증가구간 또는 감소구간을 조사한 것이다. 이에 대한 설명으로 적절한 것만을 보기에서 고른 것은? [4.2점]

④

ㄱ. [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +2]
감소구간 : [eqn: (0,```2)]

ㄴ. [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +12x +5]
증가구간 : [eqn: (-inf,```2)] 또는 [eqn: (2,```inf)]

ㄷ. [eqn: f(x)=-x^3 +3x^2 -3x -2]
감소구간 : [eqn: (-inf, ```inf)]

ㄹ. [eqn: f(x)=x^3 +6x^2 +9x +7]
증가구간 : [eqn: (-3,```-1)]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄹ

함수 [eqn: f(x)=-x^3 +6x^2 +15+k]의 극댓값과 극솟값의 합이 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: -62]	② [eqn: -49]	③ [eqn: -31]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 58]

함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f` prime (x)]의 그래프가 아래와 같을 때, 구간 [eqn: [1,```5]]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x=a]일 때이고 최댓값은 [eqn: x=b]일 때이다. 이 때, 상수 [eqn: a overb]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

그림과 같이 원기둥을 밑면의 지름을 포함하고 밑면에 수직인 평면으로 자른 도형의 대각선의 길이가 [eqn: 12]로 일정할 때, 이 원기둥의 부피의 최댓값은? [4.7점]

②

① [eqn: 86root3 pi]	② [eqn: 96root3 pi]	③ [eqn: 106root3 pi]

④ [eqn: 116root3 pi]	⑤ [eqn: 126root3 pi]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -6x^2 +ax-5]가 열린구간 [eqn: (-1,```3)]에서 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위는? [4.6점]

③

① [eqn: a< -15]	② [eqn: a<9]	③ [eqn: 9<a<12]

④ [eqn: 9 le a <12]	⑤ [eqn: a>15]

방정식 [eqn: x^3 -3x^2 -9x-2k=0]이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 이를 만족하는 자연수 [eqn: k]의 개수는? [4.4점]

①

① [eqn: 2]개	② [eqn: 6]개	③ [eqn: 10]개

④ [eqn: 12]개	⑤ [eqn: 16]개

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x)= 3over2 x^4 -2x^3 ge k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [4.5점]

②

① [eqn: k le - 1over2]	② [eqn: k < - 1 over2]	③ [eqn: k < 1 over2]

④ [eqn: k > 1 over2]	⑤ [eqn: k ge - 1 over2]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1rm cm]인 정사각형이 있다. 이 정사각형의 모든 길이가 매초 [eqn: 3rmcm]의 비율로 늘어날 때, 이 정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 13rmcm]인 순간의 넓이의 변화율은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 42rmcm^2 /s]	② [eqn: 51rmcm^2 /s]	③ [eqn: 60rmcm^2 /s]

④ [eqn: 69rmcm^2 /s]	⑤ [eqn: 78rmcm^2 /s]

[eqn: int _-2 ^2 (8x^99 +10x^97 -25x^95 +6x^2 -9x+3)dx]의 값은? [4.1점]

④

① [eqn: 22]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 56]

함수 [eqn: f_n (x)=int(1+2x+3x^2 + cdots+nx^n-1 )dx]에 대하여
[eqn: f_n (0)=1]일 때, [eqn: f_10 (2)]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.3점]

②

① [eqn: 2048]	② [eqn: 2047]	③ [eqn: 1024]

④ [eqn: 1023]	⑤ [eqn: 512]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가
[eqn: f prime (x)= {cases{k&(x GEQ 2)#x+2&(x<2)}}]이고 [eqn: f(2)=-1]일 때, [eqn: f(0)]의 값은? (단, [eqn: k]는 실수이다.) [4.6점]

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -9]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int_1 ^x (x-t)f(t)dt=x^3 +ax^2 + 1over2]
가 성립할 때, [eqn: f(5)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.8점]

①

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

정적분을 이용하여 구한 [eqn: lim_x->inf {(n+1)^4 +(n+2)^4 +` cdots`+(2n)^4}overn^5]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 27over5]	② [eqn: 28over5]	③ [eqn: 29over5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 31over5]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: int_7 ^8 f(x)dx]의 값은? [4.8점]

③

∘ [eqn: int_0 ^1 f(x)dx=1]

∘ [eqn: int_n ^n+2 f(x)dx=int_n ^n+1 4xdx] (단, [eqn: n=0,```1,```2,` cdots])

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

곡선 [eqn: y=x^3 -4x]와 직선 [eqn: y=5x]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.4점]

⑤

① [eqn: 27over2]	② [eqn: 81over5]	③ [eqn: 81over4]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81over2]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: 0 le t le7])에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같다. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=7]까지 점 [eqn: RMP]가 움직인 거리는? [4.3점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: int_3 ^5 f(x)dx]의 값은? [4.9점]

①

∘ 곡선 [eqn: y=f(x)]는 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이다.

∘ [eqn: int_-1 ^1 f(x)dx=3], [eqn: int_1 ^7 f(x)dx=17]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

집합 [eqn: LEFT { x`|`x GEQ 0 RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x^2 +x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: int_a ^a+1 f(x)dx +int_f(a)^f(a+1) g(x)dx=70]을 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값은? [4.9점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

서술형

점 [eqn: (3,```2)]에서 곡선 [eqn: y=-x^2 +2x-4]에 그은 접선의 방정식을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: y=2x-4], [eqn: y=-10x+32]

정적분의 정의에 의하여 [eqn: int_1 ^3 x^2 dx]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 26over3]

[2015년 안곡고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com